Question

17．已知函数y=f（x）是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）是单调递增的，A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（　　）

• A． f（sinA）＞f（cosA）
• B． f（sinA）＞f（cosB）
• C． f（sinC）＜f（cosB）
• D． f（sinC）＞f（cosB）

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性与单调性、锐角三角形的性质、正弦函数的单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由于知函数y=f（x）是（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）是单调递增的，故它在（0，1）上单调递减．
对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，故A不正确；
对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴$A+B＞\frac{π}{2}$，得$A＞\frac{π}{2}-B$，注意到不等式的两边都是锐角，
两边取正弦，得$sinA＞sin（\frac{π}{2}-B）$，即sinA＞cosB，又f（x）在（0，1）上是减函数，由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确；
对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，$B+C＞\frac{π}{2}$，得$C＞\frac{π}{2}-B$，注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，
得$cosC＞cos（\frac{π}{2}-B）$，即cosC＜sinB；再由f（x）在（0，1）上是减函数，由cosC＜sinB，可得f（cosC）＜f（sinB），得C正确；
对于D，由对B的证明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正确；
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，锐角三角形的性质，正弦函数的单调性，属于中档题．