Question

13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}$c²
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为7，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理列出关系式，把cosA的值及已知等式代入表示出a与c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的a与c代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，即可确定出tanC的值；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，sinC及表示出的a代入即可求出b的值．

解答 解：（1）∵△ABC中，A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{2}$bc，
把b²-a²=$\frac{1}{2}$c²代入得：b²-$\frac{1}{2}$c²=b²+c²-$\sqrt{2}$bc，即$\frac{3}{2}$c²-$\sqrt{2}$bc=0，
整理得：c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b，a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$b，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（\frac{5}{9}+1-\frac{8}{9}）{b}^{2}}{\frac{2\sqrt{5}}{3}{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则tanC=2；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=7，
∴$\frac{\sqrt{5}}{6}$b²•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=7，
解得：b=$\sqrt{21}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．