题目内容
【题目】数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )
A.对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个
B.
可以是某个圆的“优美函数”
C.正弦函数
可以同时是无数个圆的“优美函数”
D.函数
是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
【答案】ABC
【解析】
利用“优美函数”的定义判断选项
，
，
正确，函数
的图象是中心对称图形，则函数是“优美函数”，但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项
错误．
解：对于：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，
所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项正确；
对于：因为函数
图象关于原点成中心对称，
所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，
故选项正确；
对于：将圆的圆心放在正弦函数
的对称中心上，
则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项正确；
对于：函数的图象是中心对称图形，
则函数不一定是“优美函数”，如
；
但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，
如图所示：
，
所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”
的不充分不必要条件，故选项错误，
故选：ABC．
【题目】手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表，已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
.
（I）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？
2×2列联表：
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 120 | ||
不使用手机支付 | 48 | ||
合计 | 200 |
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中“使用手机支付”的人数的分布列及期望.
附：
| 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
