Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.

当时，求直线的斜率；

是否存在，使？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）直线的斜率为；（ii）不存在．

【解析】

试题（Ⅰ）求椭圆标准方程，要确定的值，由题意有，再由离心率得，最后由可得；（Ⅱ）本小题是解析几何中的探索性问题，解决问题的方法是假设存在，设直线方程为，与椭圆方程联立可求得点坐标（用表示），因此就是直线与椭圆的一个交点，因此另一个交点的坐标易求，从而可得，（i）由解得，（ii）由圆的性质可求得，要满足题意则应该有，如能解得，则说明存在，如解不出，则说明不存在．

试题解析：

（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以．

又离心率为，所以，所以，

所以，

所以的方程为．

（Ⅱ）（i）

法一：设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，所以

由，

代入得到，解得，

所以直线的斜率为．

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

显然，所以不存在直线，使得．

法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

化简得到，

显然上面方程的一个根，所以另一个根，即，

由，

代入得到，解得．

所以直线的斜率为

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

若，则，与直线存在斜率矛盾，

所以不存在直线，使得．