Question

7．已知直线l经过点M（1，6），且倾斜角为$\frac{π}{3}$，圆C的方程是x²+y²-2x-24=0，直线l与圆C交于P₁，P₂两点．
（1）求圆心C到直线l的距离； 
（2）求P₁，P₂两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知直线的倾斜角求出斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式，再化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求得圆心C到直线l的距离； 
（2）由（1）中求得的点到直线的距离及圆的半径，结合垂径定理求得P₁，P₂两点间的距离．

解答 解：（1）由题设知，直线l的斜率为tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
则直线方程为：y-6=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}x-y+6-\sqrt{3}=0$，
圆C的方程可化为：（x-1）²+y²=25，
故圆心C的坐标为（1，0），圆C的半径r=5，
∴点C到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}×1-0+6-\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（-1）^{2}}}=3$；
（2）由垂径定理可得|P₁P₂|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{25-9}=8$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是基础的计算题．