Question

求与椭圆

x2

49

+

y2

24

=1有公共焦点，且一条渐近线为y=

4

3

x的双曲线的方程．

Answer 1

分析：求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的系数的关系列出方程组，求出a，b；写出双曲线方程．

解答：解：由椭圆标准方程

x2

49

+

y2

24

=1可得的两者公共焦点为（-5，0）和（5，0），（2分）
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，（4分）其渐近线为y=±

b

a

x，（6分）
现已知双曲线的一条渐近线为y=

4

3

x，得

b

a

=

4

3

，（7分）又双曲线中a²+b²=5²，（8分）
解得a=3，b=4，（10分）∴双曲线的方程为

x2

32

-

y2

42

=1（12分）

点评：本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²；双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²．