Question

已知圆，直线．
（Ⅰ）若与相切，求的值；
（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2

试题分析：(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，
圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3，         2分
若 l与C相切，则得=3，
∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．    5分
(Ⅱ)假设存在m满足题意。
由，消去x得
(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，
由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，   8分
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁+y₂=，y₁y₂=．
OA·OB=x₁x₂+y₁y₂
=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂
=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂
=9－3m·+(m²+1)·
=25－=0         10分
24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，
∴m=9±2，适合m>，
∴存在m=9±2符合要求．
点评：直线与圆相切，一般用圆心到直线的距离等于圆的半径，本题直线与圆相交联立方程利用韦达定理可得到焦点坐标与方程的关系，进而可将向量坐标化化简