Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求证：；
（2）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是，试求的余弦值．

Answer 1

（1）详见试题解析；（2）．

试题分析：（1）证明线线垂直，可转化为证明线面垂直．要证，只要证平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性质定理知，只要证．在等腰梯形ABCD中，由已知条件及平面几何相关知识易得；（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即为直线DE与平面ACEF所成的角．在中由锐角三角函数可求得的长，再在中由锐角三角函数即可求得的余弦值．
试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，．              3分
平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．                               6分
（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即为直线DE与平面ACEF所成的角．                                          9分

设AD=DC=BC=,则MD=，．依题意，，，在中，，∵=AM，四边形AMEF为平行四边形，，，．                 12分