某校为了选拔学生参加体育比赛.对5名学生的体能和心理进行了测评.成绩如下表:学生编号i 1 2 3 4 5 体能成绩x80 75 70 65 60 心理成绩y 7066 68 64 62 (1)在本次测评中.规定体能成绩70分以上且心理成绩65分以上为优秀成绩.从这5名学生中任意抽取2名学生.设X表示成绩优秀的学生人数.求X的分布列和数学期望,(2)假设学生的体能成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．某校为了选拔学生参加体育比赛，对5名学生的体能和心理进行了测评，成绩（单位：分）如下表：

学生编号i	1	2	3	4	5
体能成绩x	80	75	70	65	60
心理成绩y	70	66	68	64	62

（1）在本次测评中，规定体能成绩70分以上（含70分）且心理成绩65分以上（含65分）为优秀成绩，从这5名学生中任意抽取2名学生，设X表示成绩优秀的学生人数，求X的分布列和数学期望；
（2）假设学生的体能成绩和心理成绩具有线性相关关系，根据上表利用最小二乘法，求y与x的回归直线方程，（参考数据：$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_iy_i=23190，$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_i²=24750）．

分析（1）由题意得1号学生、2号学生、3号学生为优秀成绩，另外两名学生不是优秀成绩，从而得到X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（2）利用最小二乘法分别求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，由此能求出y与x的回归直线方程．

解答解：（1）由题意得1号学生、2号学生、3号学生为优秀成绩，另外两名学生不是优秀成绩，
从而得到X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{6}{10}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（80+75+70+65+60）=70，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（70+66+68+64+62）=66，
$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_iy_i=23190，$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_i²=24750，
∴$\widehat{b}$=（$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$-5$\overline{x}\overline{y}$）÷（$\sum_{n=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}$）
=$\frac{23190-5×70×66}{24750-5×7{0}^{2}}$
=$\frac{90}{250}$=0.36，
$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$=66-0.36×70=40.8，
∴y与x的回归直线方程为$\widehat{y}$=0.36x+40.8．

点评本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．