Question

12．某班元旦联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，抽奖规则如下：每人每次抽取的两张卡片．
（1）若甲、乙两位同学抽奖相互独立，求甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4的概率；
（2）记甲同学所得奖品个数为随机变量X，求X分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4，是指甲、乙两位同学抽取的两张卡片都是偶数或一张是奇数另一张是4或6，由此能求出甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4的概率．
（2）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）∵甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4，
∴由已知得甲、乙两位同学抽取的两张卡片都是偶数或一张是奇数另一张是4或6，
∴甲、乙两位同学所得奖品个数都不少于4的概率：
P=$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$•$\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{9}{25}$．
（2）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．
①两次取得都是奇数，则P（X=0）=$\frac{{A}_{3}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=$\frac{2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=$\frac{2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=$\frac{{A}_{2}^{2}+2{A}_{1}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
⑥两次取得是4和6，P（X=10）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列如下：

X	0	2	4	6	8	10
p	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴EX=$0×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{5}+6×\frac{4}{15}+8×\frac{1}{15}$+$10×\frac{1}{15}$=4．

点评 熟练掌握古典概型的意义及概率计算公式、分类讨论的思想方法、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．