Question

16．数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S _n+1=4a_n+2（n∈N^•）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$，求证：{c_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）由S _n+1=4a_n+2（n∈N^•），可得n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂．n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n，化为：a_n+1=4a_n-4a_n-1，变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），可得b_n=2b_n-1．即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=3×2^n-1．a_n+1-2a_n=3×2^n-1，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．

解答 证明：（1）∵S _n+1=4a_n+2（n∈N^•），∴n=1时，a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
n≥2时，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1-2），
化为：a_n+1=4a_n-4a_n-1，变形为：a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），∴b_n=2b_n-1．
∴{b_n}是等比数列，公比为2，首项b₁=a₂-2a₁=3．
（2）由（1）可得：b_n=3×2^n-1．
∴a_n+1-2a_n=3×2^n-1．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$（n-1），解得a_n=（3n-1）×2^n-2．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{3n-1}$=2^n-2，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-2}}$=2．
∴{c_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为2．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．