Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（-x）=-f（x）中的运用特殊值求a，b的值；
（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

b-1

a+2

=0?b=1∴f(x)=

1-2x

a+2x+1

又由f（1）=-f（-1）知

1-2

a+4

=-

1- 1 2

a+1

?a=2．
所以a=2，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．