Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函数
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（4）设关于x的函数F（x）=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；
（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论；
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；
（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．

解答：解：（1）由题设，需f(0)=

-1+a

2

=0，∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

，
经验证，f（x） 为奇函数，∴a=1．
（2）减函数
证明：任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂ ∴0＜2x1＜2x2；
∴2x1-2x2＜0，（1+2x1）（1+2x2）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0
∴该函数在定义域R 上是减函数．
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0 得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x） 是奇函数，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x） 是减函数
∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，即3t²-2t-k＞0 对任意t∈R 恒成立，
∴△=4+12k＜0，得k＜-

1

3

即为所求．
（4）原函数零点的问题等价于方程f（4^x-b）+f（-2^x+1）=0
由（3）知，4^x-b=2^x+1，即方程b=4^x-2^x+1 有解
∴4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，∴当b∈[-1，+∞） 时函数存在零点．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有f（0）=0进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．