Question

11．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2 且 $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），求向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{c}$=（m，n），运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，化简整理，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，再由向量夹角的余弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}$=（m，n），
若|$\overrightarrow c$|=2 且 $\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$，其中$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1），
可得m²+n²=4，m=-$\sqrt{2}$n，
解得m=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或m=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，n=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（2）若$\overrightarrow a$=（-$\sqrt{2}$，1），可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，
又|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），
可得（$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即有3-3×2+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，
向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，向量的夹角公式，以及向量共线和垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．