Question

6．某校高一年级甲班共48人，其中优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯的调查．
（1）求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数；
（2）若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步的数据分析，
①列出所有可能的抽取的结果；
②求抽取的2名学生均为中等生的概率．

Answer 1

分析 （1）利用用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生，能求出应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数．
（2）①在抽取6名学生中，3名中等生分别记为A₁，A₂，A₃，2名优秀生分别记为A₄，A₅，1名学困生记为A₆，利用列举法能求出抽取的2名学生的所有可能结果．
②设事件A表示“抽取的2名学生均为中等生”，利用列举法求出事件A包含的基本事件个数，由此能求出抽取的2名学生均为中等生的概率．

解答 解：（1）某校高一年级甲班共48人，其中优秀生16人，中等生24人，学困生8人，
现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯的调查．
应从优秀生中抽取的学生人数为：$\frac{16}{48}×6$=2人，
应从中等生中抽取的学生人数为：$\frac{24}{48}×6$=3人，
应从学困生中抽取的学生人数为：$\frac{8}{48}×6$=1人．
（2）①在抽取6名学生中，3名中等生分别记为A₁，A₂，A₃，
2名优秀生分别记为A₄，A₅，1名学困生记为A₆，
则抽取的2名学生的所有可能结果为：
{A₁，A₂}，{A₁，A₃}，{A₁，A₄}，{A₁，A₅}，{A₁，A₆}，{A₂，A₃}，{A₂，A₄}，{A₂，A₅}，{A₂，A₆}，{A₃，A₄}，{A₃，A₅}，{A₃，A₆}，{A₄，A₅}，{A₄，A₆}，{A₅，A₆}，共15种．
②设事件A表示“抽取的2名学生均为中等生”，
则事件A包含的基本事件有：
{A₁，A₂}，{A₁，A₃}，{A₂，A₃}，共3种，
∴抽取的2名学生均为中等生的概率P=$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．