Question

【题目】已知函数（其中,且为常数）.

(1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若方程在上有且只有一个实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或

【解析】试题分析：（1）求导f′（x）=2（x﹣1）+a（﹣1）=（x﹣1）（2﹣），且f（1）=0+a（ln1﹣1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；

（2）化简f（x）+a+1=（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．

试题解析：

解（1）…

当时,对于恒成立,在上单调递增

,此时命题成立；

当时,在上单调递减,在上单调递增,

当时,有.这与题设矛盾.

故的取值范围是…

（2）依题意,设,

原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.

显然函数与的单调性是一致的.

当时,因为函数在区间上递减,上递增,

所以在上的最小值为,

由于,要使在上有且只有一个零点,

需满足或,解得或;

当时,因为函数在上单调递增,

且,

所以此时在上有且只有一个零点;

当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

又因为,所以当时,总有,

,

所以在上必有零点,又因为在上单调递增,

从而当时,在上有且只有一个零点.

综上所述,当或或时,

方程在上有且只有一个实根.