Question

【题目】已知函数，是常数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；

（Ⅱ）证明：时，有两个零点、，且．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）先根据导数的几何意义求出曲线的切线方程，再根据方程判断切线经过的定点．（Ⅱ）由题意得函数在上都为增函数，根据函数零点存在定理可得在上有一个零点．由于，则，利用导数可得，再根据单调性可得结论成立．

试题解析：

（Ⅰ）由条件得，

∴，

又，

∴所求的切线方程为，

即．

将切线方程变形为，

令时，可得，

故切线过定点．

（Ⅱ）函数的定义域为，

当时，，

∴函数在区间和内都单调递增．

又时，，

若且，则，

∴在区间内有一个零点，从而在区间内有一个零点．

当且时，，

当且时，，

∴在区间内有一个零点，从而在区间内有一个零点．

∵，

∴，

∴

，

∴，

∵在区间单调递增，

∴，故得．