Question

【题目】已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.

(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；

(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)设bn＝(9－n) ，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值．

【解析】试题分析：

(1)由题意结合递推关系可得：{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，则.

(2)由题意可得： ，错位相减有： ，则有a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)结合(1)的结论可得： ，则当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.故当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值．

试题解析：

(1)解　令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，

∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，

∴f(n)＝()n.

(2)证明　设Tn为{an}的前n项和，

∵an＝n·f(n)＝n·()n，

∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，

Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，

两式相减得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1，

＝1－()n－n×()n＋1，

∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2.

(3)解　∵f(n)＝()n，

∴bn＝(9－n)

＝(9－n)＝.

∴当n≤8时，bn>0；

当n＝9时，bn＝0；

当n>9时，bn<0.

∴当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值．