Question

若正数a．b满足a+b=1．则

1

a

+

4a

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：∵正数a．b满足a+b=1．
∴b=1-a＞0，解得0＜a＜1．
则

1

a

+

4a

b

=

1

a

+

4a

1-a

=f（a），
f′（a）=-

1

a2

+

4

(1-a)2

=

4a2-(1-a)2

(a-a2)2

=

(a+1)(3a-1)

(a-a2)2

，
当0＜a＜

1

3

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减；当

1

3

＜a＜1时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增．
∴当a=

1

3

，(b=

2

3

)时，函数f（a）取得极小值即最小值，f(

1

3

)=3+

4× 1 3

1- 1 3

=5，
∴则

1

a

+

4a

b

的最小值为5．
故答案为：5．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．