Question

2．已知：数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N*）
（1）证明数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n为数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和，对一切n∈N^*都有T_n＜k，求最小正整数k．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系化为：a_n=2a_n-1+2，变形为a_n+2=2（a_n-1+2），即可证明．
（2）b_n=log₂（a_n+2）=n+1，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-2n（n∈N*），∴当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2n-[2a_n-1-2（n-1）]，化为：a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴数列{a_n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_n+2=4×2^n-1，
化为a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）解：b_n=log₂（a_n+2）=n+1，
$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$=$\frac{3}{4}-\frac{n+3}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．
∵对一切n∈N^*都有T_n＜k，
∴$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$＜k．
∵$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+4}{{2}^{n+2}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$＞0．
∴数列$\{\frac{n+3}{{2}^{n+1}}\}$单调递减，
∴$k＞\frac{3}{2}$．
∴对一切n∈N^*都有T_n＜k的最小正整数k=2．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．