Question

已知函数f（x）=3x+lnx+

4

x

+1（自然对数的底数e=2.71828…）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）因为f(x)=3x+lnx+

4

x

+1所以f′(x)=3+

1

x

-

4

x2

=

3x2+x-4

x2

，(x＞0)，从而f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
（2）由（1）可知，分别讨论①当

1

e

＜a≤1，②当1＜a≤e时的情况，从而求出函数在区间上的最值．

解答： 解：（1）因为f(x)=3x+lnx+

4

x

+1
所以f′(x)=3+

1

x

-

4

x2

=

3x2+x-4

x2

，(x＞0)，
令f'（x）＞0得x＞1（x＜-

4

3

舍去）
令f'（x）＜0得0＜x＜1，
∴f（x）的减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．
（2）由（1）可知，
①当

1

e

＜a≤1时，函数f（x）在[

1

e

，a]上递减，
∴fmax(x)=f(

1

e

)=

3

e

+4e，
∴fmin(x)=f(a)=3a+lna+

4

a

+1，
②当1＜a≤e时，函数f（x）在[

1

e

，1]上递减，在[1，e]上递增
∴f_min（x）=f（1）=8，f（a）≤f（e），
∴f(

1

e

)-f(a)≥f(

1

e

)-f(e)=

3

e

-1+4e-3e-1-

4

e

=

(e-1)2-2

e

＞0，
即f(

1

e

)＞f(a)，
∴fmax(x)=f(

1

e

)=

3

e

+4e．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考察分类讨论思想，是一道综合题．