Question

设F₁，F₂是椭圆C：的左、右焦点，A、B分别为其左顶点和上顶点，△BF₁F₂是面积为的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM、AN分别与已知直线x=4交于点P和Q，试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△BF₁F₂是面积为的正三角形，知=，c=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l方程为：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件进行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面积为的正三角形，
∴=，c=1，
b=，b=，
∴a²=4，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）根据题意可知，直线l斜率不为0，
设直线l方程为：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴，
设点P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三点共线，由，得，
同理，…..（10分）
线段PQ的中点D即（4，-3m），
则D到直线l的距离为…．（12分）
以PQ为直径的圆的半径 …..（14分）

因为d=r，所以，以PQ为直径的圆与直线l相切．…．（15分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．