Question

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1=

2

3

，乙的命中率为P₂，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若P2=

1

2

，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据甲的命中率为P1=

2

3

，乙的命中率为P2=

1

2

，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）由已知结合（1）的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率（含参数P₂），由Eξ≥5，可以构造一个关于P₂的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到P₂的取值范围．

解答：解：（1）∵P1=

2

3

，P2=

1

2

，
根据“先进和谐组”的定义可得
该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，
∴该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率
P=（C₂¹•

2

3

•

1

3

）（C₂¹•

1

2

•

1

2

）+（

2

3

•

2

3

）（

1

2

•

1

2

）=

1

3

（2）该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率
P=（C₂¹•

2

3

•

1

3

）[C₂¹•P₂•（1-P₂）]+（

2

3

•

2

3

）（P₂²）=

8

9

P2-

4

9

P

2 2

而ξ～B（12，P），所以Eξ=12P
由Eξ≥5知，（

8

9

P2-

4

9

P

2 2

）•12≥5
解得：

3

4

≤P2≤1

点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型，（1）中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性，（2）的关键是要根据Eξ≥5，可以构造一个关于P₂的不等式．