Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DE=B₁F=$\frac{1}{3}$DD₁．求证：
（1）平面ACE⊥平面BB₁D₁D；
（2）平面EAC∥平面FA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，AC⊥BB₁，从而AC⊥平面BB₁D₁D，由此能证明平面ACE⊥平面BB₁D₁D．
（2）推导出A₁C₁∥AC，A₁E$\underset{∥}{=}$FC，从而四边形A₁ECF是平行四边形，进而A₁F∥CE，由此能证明平面EAC∥平面FA₁C₁．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BB₁D₁D．
（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DE=B₁F=$\frac{1}{3}$DD₁，
∴A₁C₁∥AC，A₁E$\underset{∥}{=}$FC，
∴四边形A₁ECF是平行四边形，∴A₁F∥CE，
∵AC∩CE=C，A₁C₁∩A₁F=A₁，
AC、CF?平面EAC，A₁C₁、A₁F?平面FA₁C₁，
∴平面EAC∥平面FA₁C₁．

点评 本题考查面面垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．