题目内容
4．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=m+t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=12，且曲线C的下焦点F在直线l上．（1）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；
（2）求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
分析 （1）点F的直角坐标为（0，-2$\sqrt{2}$），求出曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=12，求出F的坐标，从而求出m的值，将直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得t′2-2t′-2=0，由此能求出|FA|•|FB|．
（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），由此能求出椭圆C的内接矩形的周长的最大值．
解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=12，
∴直角坐标方程为3x2+y2=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴F（0，-2$\sqrt{2}$），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{0=t}\\{-2\sqrt{2}=m+t}\end{array}\right.$，解得m=-2$\sqrt{2}$，
∵将直线l的标准参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\\{y=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\end{array}\right.$（t′为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，
得t′2-2t′-2=0，∴t′A•t′B=-2
∴|FA|•|FB|=2．
（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
由对称性可得椭圆C的内接矩形的周长为8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴当θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．
点评 本题考查两线段乘积的求法，考查椭圆的内接知识的周长的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
| A． | （-∞，2] | B． | （0，$\frac{1}{2}$] | C． | [$\frac{1}{2}，2$] | D． | （0，2] |
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）| A． | 2$\sqrt{2}+\frac{2π}{3}$ | B． | 4$+\frac{2π}{3}$ | C． | 2$\sqrt{2}+\frac{π}{3}$ | D． | 4$+\frac{π}{3}$ |
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DE=B1F=$\frac{1}{3}$DD1．求证：
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆，且每个圆中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是$\frac{7π}{6}$，则它的表面积是（ ）| A． | $\frac{17π}{4}$ | B． | 4π | C． | $\frac{15π}{4}$ | D． | $\frac{7π}{2}$ |