Question

1．已知O是△ABC的外心，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-4，若$\overrightarrow{AO}$=x₁ $\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，则x₁+x₂的值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，由条件$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，两边点乘$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，运用外心的性质和向量的投影的概念，解方程可得x₁，x₂，进而得到所求和．

解答 解：由题意可得，|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AC}$|=2，
若$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=x₁$\overrightarrow{AB}$²+x₂$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，
即有$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8x₁-4x₂，①
又则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x₁$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+x₂$\overrightarrow{AC}$²，
即为1×2=-4x₁+4x₂，②
由①②解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=2，则x₁+x₂=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，注意运用数量积的几何意义，以及模的平方即为向量的平方，考查运算能力，属于中档题．