Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若cn=(

1

2

)n-an，d_n=

1+ 1 cn2 + 1 cn+12

，P=d₁+d₂+d₃+…+d₂₀₁₃，求不超过P的最大整数的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*），当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1，两式相减得出2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，构造出b_n=

1

2

b _n-1（n≥2），从而数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得nb_n=

n

2n

．利用错位相消法求和即可
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n∴c_n=n，d_n=

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

裂项求和法求得P=2014-

1

2014

不超过P的最大整数为2013．

解答：解：（Ⅰ） 因为S_n+a_n=-

1

2

n2-

3

2

n+1（n∈N^*）
所以   ①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=

1

2

，…．（1分）
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)+1
，…．（2分）
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a _n-1+n-1，
所以b_n=

1

2

b _n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=

1

2

，…．（3分）
所以数列数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，所以b_n=（

1

2

）ⁿ
（Ⅱ）  由（Ⅰ）得nb_n=

n

2n

．
所以  ①Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

②2Tn=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…．（6分）
②-①得：Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…．（7分）Tn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知a n=(

1

2

)n-n∴c_n=n…（9分）
而d_n=

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+(n+1)2+n2 n2(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

…（11分）
所以P=(1+

1

1

-

1

2

)+(1+

1

2

-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

4

)+…+(1+

1

2013

-

1

2014

)=2014-

1

2014

，
故不超过P的最大整数为2013．…..（14分）

点评：本题考查数列通项公式求解，错位相消法求和，裂项法求和，转化计算能力．