Question

若x＞1，y＞0，且满足 xy=x^y，

x

y

≥x3y，则 y 的最大值是

1

2

．

Answer 1

分析：利用x＞1，y＞0，且满足 xy=x^y，

x

y

≥x3y，可得xy×

x

y

≥x3y×xy，即x²≥x^4y，利用指数函数的单调性，即可求得y的最大值．

解答：解：∵x＞1，y＞0，且满足 xy=x^y，

x

y

≥x3y，
∴xy×

x

y

≥x3y×xy
∴x²≥x^4y
∵x＞1
∴2≥4y
∴y≤

1

2

∴y的最大值是

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查不等式，考查指数函数，考查求最值，解题的关键是利用 xy=x^y，

x

y

≥x3y，变形为xy×

x

y

≥x3y×xy．