Question

(本小题满分16分)已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；
（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)见解析    (Ⅱ)   （Ⅲ）

（Ⅰ）…3分
由于，故当时，，所以，
故函数在上单调递增……5分
（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解 所以的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

  又函数有三个零点，所以方程有三个根，
而，所以，解得…11分
（Ⅲ）因为存在，使得，
所以当时，…………12分
由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，，
而，
记，因为（当时取等号），
所以在上单调递增，而，
所以当时，；当时，，
也就是当时，；当时，………………………14分
①当时，由，
②当时，由，
综上知，所求的取值范围为………16分