题目内容
2．求$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{2x+4}}$．分析 $\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{2x+4}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{x+1}{x}^{x+3}}$=$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{1}{x}）^{x+1}$$（1+\frac{3}{x}）^{x+3}$，分别求$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{1}{x}）^{x+1}$=e，$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{3}{x}）^{x+3}$=${e}^{\underset{lim}{x→∞}（x+3）ln（1+\frac{3}{x}）}$=e3，从而解得．
解答 解：$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{2x+4}}$
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{x+1}{x}^{x+3}}$
=$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{1}{x}）^{x+1}$$（1+\frac{3}{x}）^{x+3}$
∵$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{1}{x}）^{x+1}$=e，
$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{3}{x}）^{x+3}$=${e}^{\underset{lim}{x→∞}（x+3）ln（1+\frac{3}{x}）}$，
$\underset{lim}{x→∞}$（x+3）ln（1+$\frac{3}{x}$）
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{ln（1+\frac{3}{x}）}{\frac{1}{x+3}}$
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{\frac{1}{1+\frac{3}{x}}（-\frac{3}{{x}^{2}}）}{-\frac{1}{（x+3）^{2}}}$=3，
故$\underset{lim}{x→∞}$$（1+\frac{3}{x}）^{x+3}$=${e}^{\underset{lim}{x→∞}（x+3）ln（1+\frac{3}{x}）}$=e3，
故$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{（x+1）^{x+1}（x+3）^{x+3}}{{x}^{2x+4}}$=e•e3=e4．
点评 本题考查了极限的求法及应用．
| A． | （-$\frac{b}{2}$，-a2）∪（a2，$\frac{b}{2}$） | B． | （-$\frac{b}{2}$，a2）∪（-a2，$\frac{b}{2}$） | C． | （-$\frac{b}{2}$，-a2）∪（a2，b） | D． | （-b，-a2）∪（a2，$\frac{b}{2}$） |
| A． | an=2n | B． | an=2n-1 | C． | an=2n+1 | D． | an=2n+2 |