Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，x∈R．
（Ⅰ）求$f（{-\frac{π}{6}}）$的值；
（Ⅱ） 在平面直角坐标系中，以Ox为始边作角θ，它的终边与单位圆相交于点P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），求$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）由条件根据f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，可得 $f（{-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$）的值．
（2）由条件利用任意角的三角函数的定义，求出cosθ 和sinθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ 和cos2θ的值，从而利用两角和差的三角公式求得$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{4}$） 的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\sqrt{2}$cos$（{x-\frac{π}{12}}）$，可得 $f（{-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．
（2）以Ox为始边作角θ，它的终边与单位圆相交于点P（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），则cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=-$\frac{7}{25}$，
∴$f（{2θ+\frac{π}{3}}）$=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2θcos$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$cos2θsin$\frac{π}{4}$=sin2θ+cos2θ=-$\frac{31}{25}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．