Question

已知函数f(x)＝x＋alnx，其中a为常数，且a≤－1．

(Ⅰ)当a＝－1时，求f(x)在[e，e²](e＝2.718 28…)上的值域；

(Ⅱ)若f(x)≤e－1对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)当时， 　　得　　2分 　　令，即，解得，所以函数在上为增函数， 　　据此，函数在上为增函数　　4分 　　而，，所以函数在上的值域为　　5分 　　(Ⅱ)由令，得即 　　当时，，函数在上单调递减； 　　当时，，函数在上单调递增； 　　若，即，易得函数在上为增函数， 　　此时，，要使对恒成立，只需即可， 　　所以有，即 　　而，即，所以此时无解　　8分 　　若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数， 　　要使对恒成立，只需，即， 　　由和 　　得　　10分 　　若，即，易得函数在上为减函数， 　　此时，，要使对恒成立，只需即可， 　　所以有，即，又因为，所以． 　　综合上述，实数a的取值范围是　　12分