Question

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)         (2) [1,+∞)

【解析】

试题分析：(1)∵|x＋1|≥2|x|?x²＋2x＋1≥4x²?－≤x≤1，

∴不等式f(x)≥g(x)的解集为.

(2)若任意x∈R， |x＋1|2|x|＋a恒成立，即任意x∈R， |x＋1|－2|x|a恒成立，

令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，则a φ(x)_max，

又φ(x)＝

当x≥0时，φ(x)≤1；当－1≤x<0时，－2 ≤φ(x)<1；当x<－1时，φ(x)<－2.

综上可得：φ(x)≤1，

∴a1，即实数a的取值范围为[1,+∞)．

考点：带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值，函数的恒成立问题，属于中档题．