Question

【题目】已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.

（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；

（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.

【解析】

（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．

（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，

则线段扫过的面积.

（Ⅱ）设， ，

∵为线段的中点，

∴ ，

∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，

∴ ，

整理得，

∴，

∴，

∴存在点满足题意，且点的坐标为．