Question

16．已知双曲线$\frac{x}{9}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF₂，BF₂分别交y轴于P，Q两点，若|AB|=6，则△PQF₁的周长为（　　）

• A． 10
• B． 12
• C． 20
• D． 24

Answer 1

分析 利用条件求出b，再求出P，Q的坐标，即可求出△PQF₁的周长．

解答 解：∵双曲线$\frac{x}{9}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，|AB|=6，
∴$\frac{{b}^{2}}{3}$=3，
∴b²=9，
∴A（-3$\sqrt{2}$，3），B（-3$\sqrt{2}$，-3），
∴AF₂的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-3$\sqrt{2}$），令x=0，可得P（0，$\frac{3}{2}$），BF₂的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-3$\sqrt{2}$），令x=0，可得Q（0，-$\frac{3}{2}$），
∴|PQ|=3，|PF₁|=|QF₁|=$\sqrt{18+\frac{9}{4}}$=$\frac{9}{2}$，
∴△PQF₁的周长为3+9=12．
故选：B．

点评 本题考查△PQF₁的周长，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．