Question

18．对于函数f（x）=a+$\frac{1}{{3}^{x}+1}（a∈R）$
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断函数的单调性，再利用单调性的定义证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得；
（Ⅱ）假设存在a满足条件，求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义得f（-x）=-f（x），化简后求值．

解答 解：（1）单调递减，证明如下：
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{1}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-（a+$\frac{1}{{3}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{{3}^{{x}_{2}}+1-（{3}^{{x}_{1}}+1）}{{（3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$=$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{{（3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$，
${3}^{{x}_{1}}-1$∴
∵x₁＜x₂，∴${3}^{{x}_{1}}＜{3}^{{x}_{2}}$，则${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}＞0$，
又${3}^{{x}_{1}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；…6分
（2）假设存在实数a满足条件，
∵函数f（x）的定义域是R，∴f（-x）=-f（x），
则$a+\frac{1}{{3}^{-x}+1}$=-（$a+\frac{1}{{3}^{x}+1}$），
化简得2a=-$\frac{1}{{3}^{x}+1}$-$\frac{{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=-1，解得a=$-\frac{1}{2}$，
∴存在a=$-\frac{1}{2}$使f（x）是奇函数．

点评 本题考查函数单调性的证明及奇偶性的定义，掌握单调性的定义证题步骤是关键，考查化简、变形能力，属于中档题．