Question

14．等差数列{a_n}中，已知a₁₀=23．
（1）若a₂₅=-22，问此数列从第几项开始为负？
（2）若数列从第17项起各项均为负，求公差d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的公差为d，运用通项公式，求得d=-3，求得通项，再令a_n＜0，解不等式即可得到所求n；
（2）设公差为d，由题意可得a₁₇＜0，a₁₆≥0，由通项公式，解不等式，即可得到d的范围．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，
由a₁₀=23，a₂₅=-22，可得d=$\frac{{a}_{25}-{a}_{10}}{15}$=-3．
即有a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n，
令a_n＜0，即有53-3n＜0，解得n＞$\frac{53}{3}$，
由n为整数，则n最小为18．
则此数列从第18项开始为负；
（2）设公差为d，由题意可得
a₁₇＜0，a₁₆≥0，
即为a₁₀+7d＜0，a₁₀+6d≥0，
即有23+7d＜0，23+6d≥0，
解得-$\frac{23}{6}$≤d＜-$\frac{23}{7}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查不等式的解法，属于基础题．