Question

3．依次计算数列：（1-$\frac{1}{4}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$），（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$），…的前4项的值，由此猜想（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*）的结果，并用数字归纳法加以证明．

Answer 1

分析 设a_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*），分别求出前4项的值，并猜想，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：设a_n=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）…（1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$）（n∈N^*），
（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3}{4}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$，（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）（1-$\frac{1}{25}$）=$\frac{3}{5}$，
猜想：a_n=$\frac{n+2}{2（n+1）}$
证明：①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k∈N₊）命题成立，即a_k=$\frac{k+2}{2（k+1）}$
当n=k+1时，a_k+1=a_k•[1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$]=$\frac{k+2}{2（k+1）}$•$\frac{（k+2）^{2}-1}{（k+2）^{2}}$=$\frac{（k+2）+1}{2（k+2）}$
则n=k+1时也成立，
由①②，猜想成立．

点评 本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．