Question

9．已知函数f（x）=x²+alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若对任意x∈[1，+∞）使得f（x）≥（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对n∈N^*，不等式$\frac{1}{ln（n+1）}$+$\frac{1}{ln（n+2）}$+…+$\frac{1}{ln（n+2013）}$＞$\frac{2013}{n（n+2013）}$成立．

Answer 1

分析 （1）求导，要使f（x）≥（a+2）x恒成立，则f（x）-（a+2）x≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，左边须有最小值，最小值大于等于零．
（2）想到（1）式，利用a=-1，变形成（2）的形式．常见做题方法．

解答 解：（1）由题知
f（x）-（a+2）x≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立
令h（x）=f（x）-（a+2）x
=x²+alnx-（a+2）x
h'（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$
=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$
∵h（x）=f（x）-（a+2）x≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立
∴2x-a≥0且h（1）≥0
∴a≤-1
（2）令a=-1，x∈[1，+∞）
∴x²-lnx≥x
∴lnx≤x（x-1）
∴$\frac{1}{lnx}$≥$\frac{1}{x（x-1）}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$
∴$\frac{1}{ln（n+1）}$＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$\frac{1}{ln（n+2）}$＞$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$

…
$\frac{1}{ln（n+2013）}$＞$\frac{1}{n+2012}-\frac{1}{n+2013}$
∴$\frac{1}{ln（n+1）}$+$\frac{1}{ln（n+2）}$+…+$\frac{1}{ln（n+2013）}$＞$\frac{2013}{n（n+2013）}$．

点评 考察了恒成立问题，需转换成最值问题；对结论分析结合题的形式探索解题方法．