Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n+1=2λS_n+1 （λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）若，n∈N^*，n∈R，设T_n为数列的前n项和，求证：T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，知a₃=S₃-S₂=4λ²，再由a₃=4，λ＞0，能求出λ．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），故数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以，由此能求出（n∈N^*）．
（3）由=2+2log₂a_n=n+1．知==，由此利用裂项求法和能证明数列的前n项和．
解答：解：（1）由S_n+1=2λS_n+1，
得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，
S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，
又∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．
（2）由S_n+1=2λS_n+1，得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴，∴，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．n≥2
∵当n=1时，a₁=1满足，∴（n∈N^*）．
（3）∵
=2+2log₂a_n
=
=
=n+1．
∴==，
∴数列的前n项和：
T_n=
=[（1-）+（）+（）+…+（）+（）]
=
＜=，
∵T₁=，
∴．
点评：本题考查数列的通项公式的证明和不等式证明，解题时要认真审题，注意迭代法、构造法和裂项求和法的合理运用．