Question

已知数列{a_n}，其前n项和为Sn=

3

2

n2+

7

2

n? (n∈N*)．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）如果数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，请证明数列{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据a₁=S₁求得a₁，再根据a₁+a₂=S₂求得a₂．
（Ⅱ）根据a_n=S_n-S_n-1，代入Sn=

3

2

n2+

7

2

n即可求得a_n．进而根据求得a_n-a_n-1为常数说明数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅲ）把a_n代入

bn+1

bn

求得结果为常数，可推知数列{b_n}等比数列．根据b1=2a1求得首项，根据

bn+1

bn

=8求得公比，进而根据等比数列的求和公式求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）a₁=S₁=5，a1+a2=S2=

3

2

×22+

7

2

×2=13，
解得a₂=8．
（Ⅱ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

3

2

[n2-(n-1)2]+

7

2

[n-(n-1)]=

3

2

(2n-1)+

7

2

=3n+2．
又a₁=5满足a_n=3n+2，
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅲ）由已知得bn=2an（n∈N^*），
∵

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=2an+1-an=23=8（n∈N^*），
又b1=2a1=32，
∴数列{b_n}是以32为首项，8为公比的等比数列．
∴Tn=

32(1-8n)

1-8

=

32

7

(8n-1)．

点评：本题主要考查了等比和等差数列的确定．关键是找到相邻两项的关系．