Question

已知数列{a_n}，其前n项和为Sn=

3

2

n2+

7

2

n (n∈N*)．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）如果数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，请证明数列{b_n}是等比数列，并求其前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，求得a₁，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，验证后合并可得a_n的通项公式；利用等差数列的定义证明即可．
（Ⅱ）利用数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，求出它的通项公式，利用等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列，利用求和公式求其前n项和．

解答：解：（Ⅰ）由已知得n=1，a₁=s₁=5，
 n≥2，a_n=s_n-s_n-1=（

3

2

n2+

7

2

n）-[

3

2

(n-1)2+

7

2

(n-1)]
=3n+2，
 n=1时满足上式，所以a_n=3n+2．
因为a_n+1-a_n=3（n+1）+2-3n-2=3．
所以{a_n}是以5为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，
所以b_n=2³ⁿ⁺²，
因为

bn+1

bn

=

23n+5

23n+2

=8，
所以数列数列{b_n}是以b₁=32为首项，8为公比的等比数列．
其前n项和为：

32(1-8n)

1-8

=

23n+5-32

7

．

点评：本题主要考查求数列的通项公式以及求和，考查学生的推理与运算能力，是中档题．