Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在以F（0，

1

4

）为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b_n}满足b_n=2 an．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n×b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先确定抛物线方程，可得S_n=n²，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）以F（0，

1

4

）为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线方程为x²=y
∵点（n，S_n）在x²=y上，
∴S_n=n²
∴n≥2时，S_n-1=（n-1）²
两式相减可得a_n=2n-1
∵n=1时，a₁=1满足上式
∴a_n=2n-1，
∴bn=22n-1；
（2）由（1）知，c_n=（2n-1）×2^2n-1
∴T_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）×2^2n-1
∴4T_n=1×2³+3×2⁵+…+（2n-1）×2²ⁿ⁺¹
两式相减可得-3T_n=2¹+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

(10-12n)×4n-10

3

∴T_n=-

(10-12n)×4n-10

9

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与抛物线的联系，考查错位相减法，属于中档题．