题目内容

已知函数 $数学公式$ （1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有 $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∴f'（x）= $\text{[math]}$ （a＞0）…1
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）= $\text{[math]}$ ≥0对x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥ $\text{[math]}$ 对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1 （4分）
（2）∵a≠0 $\text{[math]}$ ，
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴f（x）的增区间为 $\text{[math]}$ ，减区间为（ $\text{[math]}$ ）…6
（3）当a=1时，f（x）= $\text{[math]}$ ，f'（x）= $\text{[math]}$ ，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x= $\text{[math]}$ ，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
∴lnn＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ln $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
分析：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，建立关系式，解之即可；
（2）求出f（x）的导函数，化简整理后，根据a小于0和a大于0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x= $\text{[math]}$ ，易得 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，然后利用lnn＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ln $\text{[math]}$ 即可证得结论．
点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，会根据函数的增减性证明不等式，是一道综合题．