Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围；

（3）若对区间内任意两个不等的实数，，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出函数的导数,利用导数的几何意义即可求出函数在处的切线方程

（2）先通过求导,研究函数的单调性,然后利用函数在上有两个零点可得直线与的图像有两个交点，从而得到，求解即可

（3）不妨设，恒成立等价于，化简为，然后，令，然后判断的单调性即可求解

（1）当时，，，切点坐标为，

切线的斜率，则切线方程为，即.

（2），则，

，故时，.

当时，；

当时，.

故在处取得极大值.

又，，，则，

在上的最小值是.

在上有两个零点的条件是

解得

实数m的取值范围是

（3）不妨设，恒成立等价于，即.

令，由，具有任意性知，在区间内单调递减，

恒成立，即恒成立，

，在上恒成立.

令，则

在上单调递增，则，

实数a的取值范围是