Question

【题目】已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为.

（1）求C的方程；

（2）设椭圆的左顶点为M，kMA，kMB分别表示直线MA，MB的斜率，求证.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设A，B的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB，OD的斜率之积，由题意可得a，b的关系，再由右焦点的坐标及a，b，c之间的关系求出a，b的值，求出椭圆的方程；

（2）由（1）可得M的坐标，将直线l的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM，BM的斜率之和，再由直线AB，OD的斜率之积可证得kAM+kBMkOD.

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

将点A，B坐标代入椭圆的方程，两式相减得0，

所以kAB，

因为D为AB的中点，所以kOD，

所以kABkOD，

所以，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的方程为：1.

（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，

联立直线与椭圆的方程：，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，

所以y1+y2，y1y2，

所以kAM+kBM

m，

因为kABkODkOD，所以mkOD，即kAM+kBMkOD.