Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄＝2S₂＋8.

(1)求公差d的值；

(2)若a₁＝1，设T_n是数列的前n项和，求使不等式T_n≥(m²－5m)对所有的n∈N^*恒成立的最大正整数m的值；

(3)设b_n＝若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₄成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

解：(1)设数列{a_n}的公差为d，

∵S₄＝2S₂＋8，即4a₁＋6d＝2(2a₁＋d)＋8，化简得：4d＝8，

解得d＝2.

(2)由a₁＝1，d＝2，得a_n＝2n－1，

又∵不等式T_n≥(m²－5m)对所有的n∈N^*恒成立，

∴≥(m²－5m)，

化简得：m²－5m－6≤0，解得：－1≤m≤6.

∴m的最大正整数值为6.

(3)由d＝2，得a_n＝a₁＋2n－2，

又∵b_n＝

又函数f(x)＝1＋上分别是单调减函数，

且x<1－时y<1；x>1－时y>1.

∵对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₄成立，

∴3<1－<4，

解得－6<a₁<－4，即a₁的取值范围为(－6，－4)．