Question

【题目】已知为常数， ，函数， （其中是自然对数的底数）.

（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证： ；

（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）先对函数求导， ，可得切线的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函数，可证；（2）由， ，先研究函数，则，由在上是减函数，可得，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求出参数范围.

试题解析：（1）（），

所以切线的斜率，

整理得，显然， 是这个方程的解，

又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解，

故．

（2）， ，

设，则，

易知在上是减函数，从而．

①当，即时， ， 在区间上是增函数，

∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∴在区间上是减函数，所以满足题意．　

②当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上递增，在上递减，

又∵，∴，

又∵，

∴在内有唯一一个零点，

当时， ，当时， .

从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.

∴不合题意．综上①②得， ．