Question

18．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k的直线交椭圆C于点M，N两点（异于A点），且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义可得a=2，离心率为$\frac{1}{2}$，c=1，求出b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）联立方程组得到（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，利用AM⊥AN，结合韦达定理得到7m²+16km+4k²=0，7m=-2k，m=-2k，代入求解即可得出定点．

解答 解：（1）由椭圆的定义可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，解得a=2，
∵离心率为$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得（3+4k²）x²+8km+4m²-12=0，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
即4k²＞m²-3
∵AM⊥AN，
∴（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（mk-2）（-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$）+m²+4=0，
∴7m²+16km+4k²=0，
∴7m=-2k，m=-2k，
当7m=-2k时，y=kx+m=-$\frac{7}{2}$mx+m=m（-$\frac{7}{2}$x+1）（k≠0）直线l过定点（$\frac{2}{7}$，0）
当m=-2k时，y=kx-2k=k（x-2），直线l过定点（2，0）
∵右顶点为A（2，0）∴直线l过定点（2，0）不符合题意，
根据以上可得：直线l过定点（$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于中档题．