Question

5．已知正方形ABCD，E是边AB的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE，如图所示，若A′CD为正三角形，则ED与平面A′DC所成角的余弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 过A作AF⊥DE于M，交BC于F，则A在底面的射影O在MF上，由A′C=A′D可知OC=OD，故O为CD的中垂线与MF的交点，以B为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{ED}$和平面A′CD的法向量$\overrightarrow{n}$，则ED与平面A′DC所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞|，从而得出所求角的余弦值．

解答 解：在图1中，过A作AF⊥DE于M，交BC于F，
在图2中，作A′O⊥平面BCDE，连接OC，OD，则A′O⊥OC，A′O⊥OD．
∵A′CD为正三角形，∴A′C=A′D，∴OC=OD．
∴O为CD的中垂线与MF的交点．
在图1中，取CD中点N，连接EN交AF于O．
设正方形边长为2，则DE=$\sqrt{5}$，∴AM=$\frac{AE•AD}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EM=$\sqrt{A{E}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵△EOM∽△EDN，∴$\frac{EO}{DE}=\frac{EM}{EN}=\frac{OM}{DN}$，∴OM=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，OE=$\frac{1}{2}$．
∴A′O=$\sqrt{A′{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
以B为原点，以BE，BC为x轴，y轴，以平面BCDE过B点的垂线为z轴建立空间坐标系B-xyz，如图所示：
则E（1，0，0），D（2，2，0），C（0，2，0），A′（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{ED}$=（1，2，0），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DA′}$=（-1，-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设平面A′CD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA′}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-x-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ED}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ED}|}$=$\frac{2}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
设ED与平面A′DC所成角为α，则sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间向量的应用与空间角的计算，确定A′在底面的射影位置是解题关键．属于中档题．